Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 2

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) définie sur  \(\mathbb{R}\) par `f(x) = 8x^2 -8x + 2`  sur  \(\mathbb{R}\) .

Comme  \(a = 8 > 0\) , la fonction est décroissante, puis croissante.
Elle change de variation à  `\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times 8} = \frac{1}{2}` .
La valeur de l'extremum associé est : `\beta = f(\alpha) = 8\alpha^2 -8\alpha + 2 = 8(\frac{1}{2})^2 -8 \times \frac{1}{2} + 2 = 8 \times \frac{1}{4} - \frac{8}{2} + 2 = 2 - 4 + 2 = 0` .

On en déduit son tableau de variations :

On aurait pu remarquer, depuis sa forme développée, que pour tout  `x` dans  `\mathbbR` `f(x) = 2(2x-1)^2` et en déduire, d'une part, que la parabole représentative admet un unique point commun avec l'axe des abscisses, dont les coordonnées sont `(\frac 1 2; 0)` et, d'autre part, que  `f(x)` est positif pour tout réel  `x` .

Ces observations permettent de conclure que le sommet de la parabole a bien pour ordonnée le minimum de la fonction et que ses coordonnées sont  `(\frac 1 2; 0)` .